2017年江西农业大学国土资源与环境学院701数学之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明： （1）（2）【答案】（1）由
是
的有效估计； 是知
的无偏估计，但不是有效估计.
为了获得
的元偏估计的C-R 下界，
是来自正态总体
的一个样本，若均值μ已知，
需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是
由此得的费希尔信息量
从而的无偏估计的C-R 下界为
是
的有效估计.
此下界与上述无偏估计的方
差相等，故此
（2）由于
可见，
即是的无偏估计，其方差为
为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于
从
而
的元偏估计的C-R 下界
为故
不是
由于无偏估
计
的方
差
的有效估计. 此处
，的无偏估计的C-R
下界与的方差的比为
该比值常称为无偏估计的效.
2． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与-X 有相同的特征函数,
从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.
再证必要性, 若
, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,
故
是实的偶函数.
由于-X 的特征函数为所以
3． 设为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
相互独立, 且
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
4． 试证：对任意的常数
【答案】于
5． 设时,
所以
由此得
试证明:当n 充分大
服从大数定律.
有
由
所以
所以得
, 即
先证充分性. 若
是实的偶函数, 则
又因
【答案】因为
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】因为为独立同分布的随机变量序列, 所以也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
6． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为
试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数
所以由又因为
和
知X 与Y 不独立.
在对称区间上是偶函数, 故
从而
所以X 与Y 不相关.
7． 设正态总体的方差
为已知值，均值只能取或
两值之一，为总体的容量n 的
则检验犯第二类错误的概率
为
从而在并且要求
给定时，有
样本均值. 考虑如下柃验问题
若检验拒绝域取
为
（1）试验证：（3）当
【答案】（1）由于
（2）若n 固定，当减小时怎样变化？当减小时怎样变化？
时，样本容量n 至少应为多少？
故检验犯第二类错误的概率为
这给出
也即
从而在
（2）若n 固定，当减小时，而导致增大.
同理可知：当减小时增大.
这说明，在样本量给定时，犯二类错误的概率一个变小另一个就会变大，不可能找到一个使得犯两类错误的概率都变小的检验方案.
（3）由
查表可得
于是
将
代入，有
给定时，有
就变大，由为常量可知就变小，从