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一、证明题

1． 从正态总体

中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不

，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以

故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

2． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,

试证:

（1）（2）

（3）和的协方差矩阵为

其中

成立.

且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:

为取自此总体的次序统计量,

设

其

管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

【答案】设的先验分布为中

【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；

（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故

（3）和的联合分布函数为:

又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U

则

所以,

结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:

3． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即 4． 若

为从分布族

为充分统计量.

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知,

5． 设总体为如下离散型分布

表

是来自该总体的样本.

（1）证明次序统计量（（2）以

表示

）是充分统计量；

中等于的个数, 证明（

独立同分布, 且令, 试证明:其中（3为常

有

再由本节第3题知

中抽取的简单样本,

试证

为充分统计量.

）是充分统计量.

【答案】（1）给定（必有

于是, 对任一组并

）的取值

满足

设中有个

中有个有

可以为0, 但

该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,

是充分统计量. 1与

,

）,

是一一对应的,

）就可算得（

, 反之, 给出）

,

,

也可构造出（

, ）

）是充分统计量.

6． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时, 记Y=X, 试证

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性, 设

, 由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布, 其密度函数为

若

与

相互独立, 则

这正是参数为数为

（2）当

的柯西分布.

时有

,

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

, 但是X 与Y 不独立；

与同分布.

相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:

的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,

,

服从参