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一、证明题

1． 设

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

由于在Y 取固定值时,

上式对Y 的任一取值都成立, 即

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

2． 设总体是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

【答案】由于总体均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

3． 设

【答案】若

所以

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

也是常数, 故有

存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

, 它仍是随机变量. 在

, 证明:服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

由

在上是严格单调增函数, 其反函数

为

Z 的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

4． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

即X 与Y 不相关.

5． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，不等式的下界.

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

记

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

6． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量, 且

试证:

【答案】

7． 设

是取自二维正态分布

的一个二维样本, 记

试求统计量【答案】容易看出

的分布.

仍服从正态分布. 且

所以另外,

类似于一维正态变量场合, 可证与相互独立。且

于是根据t 变量的构造可知