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一、填空题

1．

在x=0处的泰勒展开式为_____。

【答案】

【解析】由题意得

2． 设函

数

，单位向

量

，

_____。

【答案】

【解析】由函数

得

则

即

。

3． 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有

其中f （x ）在内具有连续的一阶导数，则

=_____。

【答案】1

【解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式得

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则

其中

为S 所围成的空间区域，当s 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S 取内侧

为连续函数，且对任意的

。因此，当x>0

面时，上述三重积分前取“-”号。

由于曲面S 任意，因此空间区域也为任意，根据“若空间区域都有时，有

4． 函数数

_____。 【答案】 【解析】记

，则

2°M 0在曲面

上，M 0处外法向n 的方向余弦

3°代公式得

5． 设曲面是

【答案】4π 【解析】补平面S 为

的下侧，则

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，则

。

在点

处沿曲面

。可知

在点M 0处法线方向n 的方向导

的上侧，则=_____。

6． 与积分方程

【答案】注：1°方程

等价的微分方程初值问题是_____。

的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达

式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，

故积分方程应理解为

2

°由于积分方程

后，有恒等式然，当

7． 设方程

【答案】

【解析】由题意，有

可确定函数

_____。

时，

确定了隐函数

因此积分方程中的y 取

即

显

于是上式两端对x 求导，就得

即

8． 若级数定_____。

【答案】收敛；发散 9． 设

【答案】

，则

，则

_____。

绝对收敛，则级数

必定_____；若级数

条件收敛，则级数

必

【解析】令

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