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一、证明题

1． 设函数f （u ）具有一阶连续导数, 证明对任何光滑封闭曲线L , 有

【答案】令P=f （xy ） y , Q=f （xy ）x , 则有

故由格林公式可得

2． 设f 在[a, b]上连续, 证明:存在一点<

, 使得

【答案】由连续函数的最大、最小值定理知, f （x ）在[a, b]上有最小值和最大值. 设其最小值为m , 最大值为M. 于是

. 由

和

得

由介值性定理知, 存在

3． 设正项级数

（1）（2）在

发散.

用分点

及

单调性, 得

从而

当

时,

, 即得结论.

因单调下降且趋于0, 及

发散. , 使

,

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, 另有一组正数满足..

, 使得, 令

, 求证:

发散,

【答案】（1）把

上, 由

分成无限个小区间,

（2）方法一:我们考虑级数故级数

’,

收敛, 于是由第（1）小题推出级缴

, 所以

方法二:因对任意固定的n , 于是对

有

故由收敛原理知

发散.

4． 证明:连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数; 连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.

【答案】设f （x ）是连续的奇函数, 则所以F （x ）是偶函数. 若f （x ）是连续的偶函数, 则

是f （x ）的一个原函数, 则

所以F （x ）是奇函数. 奇函数要求过原点, 因此, 连续的偶函数的原函数中只有过原点的那一个是奇函数.

是f （x ）的所有原函数, 而

二、解答题

5． 应用比较原则判别下列级数的敛散性:

（1）（3）（5）（7）（9）

【答案】（1）因（2）因（3）因（4）当（5）因（6）因（7）因（8

）因

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（2） （4）

（6） （8）

（10）而级数

而级数，而级数

时

，

，而级数

，而级数

而级数

收敛，故

收敛. 收敛. 发散.

发敛. 收敛. 发散.

发散.

而级数

收敛，故级数发散，故级数而级数

收敛，故级数

汷敛，故级数

:发散，故级数发散，故级数

故

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收敛，所以级数

（9）因而级数（10）因为而

收敛.

收敛，故级数收敛.

所以因此 6． 设

求直线

和抛物线

所围图形绕直线

所以

7． 设

（1）试求以（2）计算【答案】（1）因所以

所以

其中

为自变量的反函数组；

旋转而成的旋转体体积.

而

收敛，由比较原则，可知级数

收敛.

【答案】

旋转体体积公式为

（2）

8． 讨论反常积分

【答案】当

时, 对一切

的敛散性.

有

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页

而发散,