2017年西安财经学院统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设二维随机变量（X , Y ）在矩形
求边长分别为X 和Y 的矩形面积Z 的密度函数.
【答案】因为（X , Y ）服从矩形G 上的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
又因为面积Z=XY, 所以Z 可在区间（0, 2）上取值, 且Z 的密度函数可用积的公式求得
要使以上被积函数大于0
的区域必须是
, 所以当0 2． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为 试求 当 时, 由此得 3． 某城市中共发行3种报纸A ，B ，C ，在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、30%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A ，B ，C 报，求以下事件的概率： （1）只订阅A 报的； （2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的. 【答案】仍用A ，B ，C 分别表示订阅A ，B ，C 报，则有P （A ）=0.45，P （B ）=0.35，P （C ）=0.30，P （AB ）=0.10，P （AC ）=0.08，P （BC ）=0.05，P （ABC ）=0.03. 第 2 页，共 23 页 上服从均匀分布, 试 的交集, 此交集为 【答案】先求条件密度函数. 所以 （1）P （只订阅A 报）= 其中 （2）因为P （只订阅一种报纸）= 所以 P （只订阅一种报纸）=0.30+0.23+0.20=0.73. （3）P （至少订阅一种报纸） （4）P （不订阅任何一种报纸）= 4． 某厂产品的不合格品率为0.03，现要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100件合格品，那么每箱至少应装多少件产品？ 【答案】设每箱装l00+k件产品，则每箱中的不合格品数X 服从二项分布b （100+k，0.03）. 根据题意要求k ，使X 小于等于k 的概率至少为0.9，即式的 k 在此p=0.03，n=100+k较大，可用二项分布的泊松近似，得式可改写为 查泊松分布表得 故取k=5是恰当的，即每箱中装105件产品可使每箱中至少有100件合格品的概率不小于0.9. 5． 设在区间（0, 1）上随机地取n 个点, 求相距最远的两点间的距离的数学期望. 【答案】解法一:分别记此n 个点 （0, 1）上的均匀分布U （0, 1）. 我们的目的是求 而. 和 的密度函数分别为 又因为 所以 第 3 页，共 23 页 也就是求满足下述不等 于是上 则相互独立, 且都服从区间 解法二:n 个点把区间（0, 1）分成n+1段, 它们的长度依次记为是随机取的, 所 以 因此 而相距最远的两点间的距离为 因此所求期望为 6． （1）某种岩石中的一种元素的含量在25个样本中为： 有人认为该样本来自对数正态分布总体，请设法用w 检验方法作检验（【答案】（1）首先应对数据进行对数变换. 记在下表中， 由此可算得 表 ）. ）. （2）对（1）题的数据，试用EP 检验方法检验这些数据是否来自正态总体（取 因为此n 个点 具有相同的分布, 从而有相同的数学期望. 而 则25个y 的观测值可算出，我们把它列 从上表中可以计算出W 的值： 当n=25时，查表知故在显著性水平 拒绝域为 由于样本观测值没有落入拒绝域内， 上不拒绝原假设，即可以认为样本来自对数正态分布. 在附表11中通过线性插值得到n=25时的0.95 分位数约为 计算得到的 0.05下接受这些数据是来自正态总体的. 小于该临界值，因此在显著性水平 （2）该问题可按计算TEP 的框图用任一种软件编程计算，这里用SAS 软件编程算得 若取显著性水平 第 4 页，共 23 页
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