2018年西北农林科技大学园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
得
故
知
故
【答案】
由题意知
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
3． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ;
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
4． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
知
故
芄中
不
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
令
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
则
与—
是属于A 的特征值
. 的线性无关特征向
j 正交，于是有
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ
）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
故二次型
二、计算题
5． 设n 阶矩阵A ，B 满足
【答案】
显然
另一方面
，
证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；