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一、解答题

1． 已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）证明

：（Ⅱ

）设

【答案】

（Ⅰ）由同特征值的特征向量，

故

又令即由

线性无关，得齐次线性方程组

因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,

所以必有

线性无关；

（Ⅱ）因为

,

所以

即

线性无关.

求

是3维非零列向量，若线性无关；

且

非零可知，

是A 的个

令

故

2． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

由

贝腕阵的列向量（即矩阵

A

的行向量）是齐次线性方程组的解.

对

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为 3．

设

为三维单位列向量，并且

记

证明：

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A

相似于矩阵

则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ）由（Ⅰ

）知向量.

又且

另外，由

故可知

为A 的特征值

，为4的2重特征值

，

为对应的特征向量.

为A 的3个

为4的单重特征值.

故A

有零特征值

的非零解即为

对应的特征

其中t 为任意常数.

【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且

为两个正交的非零向量，从而线性无关.

故

线性无关的特征向量，

记

则

即A

相似于矩阵

4． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

所以B 的n

个特征值也为

=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1

重特征值

对于n-1

重特征值由于矩阵（0E-B ）

的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

二、计算题

5． 求一个正交变换化下列二次型成标准形

（1

）（2

）

【答案】（1）二次型f 的矩阵为