2017年南京航空航天大学理学院601数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设数
列成立. 证明：函数
【答案】
由
上连续，
所以对任意固定的
处间断，
处间断，
故函数
2． 试问下面的解题方法是否正确：求限
得a=2a，所以a=0.
【答案】这个解题方法是错误的. 因为
3． 证明：若
【答案】
若从而 4． 已知
为发散的正项级数，
为其部分和，用柯西收敛原理证明
使得
可以先取n=N+l，注意到
递增，所以此时有
因为则
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为中互不相同的点列
，
在
为函
数
在
在
上的惟一间断点.
设
均
玍上一致有界，即存在正数M 使得
内的间断点集为
知
对所有的与所有
上一致收敛
，
上连续.
在
处连续，
在内的间断点集为
证明：设
由于
就不存在，不能设
两边取极
为递增数列，则无界，
则
等式成立. 若
有界，由单调有界原理可得存在，
发散.
【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数
递増且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m , 使得
所以原命题成立.
5． 证明：函数
在点(0, 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点(0, 0) 不连续，而f 在点(0, 0) 可微. 【答案】当
时
当
时
但由于因此当
时
在点(0, 0) 不连续，然而
所以，在点
6． 设
可微且，求证：当
时，有
【答案】方法一：由已知条件得
整理化简得
方法二：先由y 的表达式，解出
再两边取微分，得
而
不存在(可考察y=x情况) ，
的极限不存在，
从而
在点(0, 0) 不连续.
同理可证因此f 在点(0, 0) 连续.
二、解答题
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7． 验证下列线积分与路径无关，并计算其值：
其中
【答案】(1) 因
所以所给路曲线积分与路径无关，从而
(2) 因
所以所给曲线积分与路径无关，且
由于
和
在球面上，所以原式=0
8． 有一等腰梯形闸门. 它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米. 计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。
【答案】如图所示，B 、C 的坐标为（0, 5）和（20, 3）. 于是BC 的方程为
深度为x 处水的静压强为故
闸门从深度x 到
这一窄条上受到的静压力为
在球面
上。
图
9． 作函数导法，得
由
可知
为垂直渐近线. 又因为
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的图形.
由定义可求出
当
时，利用对数求
【答案】函数的定义域为