2017年北京市培养单位北京基因组研究所803概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】若
, 证明:
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
2． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
即的后验分布为共轭先验分布.
3． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
由
的任意性知
结论得证.
4． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
使当
使有时, 任对
, 有
仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
弱收敛于分布函数且
和都是连续、严格单调函数,
又设
关于x 是一致的,
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为
即成功概率p 的后验分布为分布族.
5． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
时, 有
分布函数, 即
（2）. 相互独立, 由（1）
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知
6． 证明：
（1）（2）
【答案】（1）由
的相互独立性可导致
移项即得结论.
7． 设随机变量序列证:
【答案】这时
（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即
则由（1）知
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且
试
由辛钦大数定律知结论成立.
仍为独立同分布, 且