当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 从正态总体

中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不

，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以

故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

2． 设由

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

其

管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.

【答案】设的先验分布为中

明：样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为

即

将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有

证明完成.

3． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

则的后验分布为

，其中已知，

为其样本，取

的先验分布为倒伽

即

这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均

值已知）的共轭先验分布.

4． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论.

5 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

6． （格涅坚科大数定律）设

的特征函数, 由唯一性定理知是随机变量序列, 若记

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

由此得

, 且X 与Y 独立,

.

则服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当

时, 有

因此有

所以当再证必要性.

设有

因为函数

时, 有

服从大数定律,

即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N ,

当, 得

由于的任意性, 所以

7 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:．（0, 1）相互独立.

【答案】设

则

所以

•由此得

和V=X/Y的联合密度为

所以

可分离变量, 即U 与V 相互独立.

8． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）

，

由

时,

【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知