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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

2． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

3． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩

由②有

为空间的两组基，且

所以A 的特征值为3，3，0；而

则A 与B （ ）.

【答案】（C ） 【解析】设

4． 二次型

是（ ）二次型.

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

是不定二次型，故选B.

方法2 设二次型矩阵A ，则

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B. 5． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】 C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

二、分析计算题

6． 设A ，B 为n 阶方阵

，

问：

①二次型的矩阵为何？

②若则A 与B 是否相等？

【答案】①因为未假设A 对称，故

虽为n 元二次型，但其矩阵不能肯定是A.

由于对称，故

的矩阵为

②若

则A 与B 不一定相等. 例如，

但是

不过，当均为对称方阵时二者必相等： 因为

与展开后，

的系数分别为

故

与

中的系数

对应相等，故

7． 设分块矩阵

是方阵

，

【答案】由.

由

可得

注意到

两边取迹得

因此

8． 设P 是数域，

（1）证明：旦是数域P 上线性空间的线性变换；

（2）求在基

下的矩阵；

（3）求的特征值和属于特征值的线性无关的特征向量. 【答案】⑴

令

由假设知

但因为