2017年中南民族大学数学与统计学院858高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设行列式
所以A 的特征值为3，3，0；而
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
二、分析计算题
6． 设A ，B ，C 是
并计算E+ADB=?
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方阵，试证：
【答案】（E-BA ）D=（E-BA ）（E+BCA） =E-BA+BCA-BABCA=E-BA+B（E-AB ）CA =E-BA+BA=E，
又D （E-BA ）=（E+BCA）（E-BA ）=E-BA+BCA-BCABA =E-BA+BC（E-AB ）A=E-BA+BA=E.
又由C （E-AB ）=（E-AB ）C=E，得E+CAB=E+ABC=C.则E+ADB=E+A（E+BCA）B=E+AB+ABCAB=E+AB
（E+CAB）=E+ABC=C，故E+ADB=C.
7． 设有齐次线性方程组
试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【答案】解法1:方程组系数行列式
当
即a=0或
时方程组有非零解.
当a=0时，
故方程组与如下方程同解:
由此得基础解系为：
故方程组通解为当
其中
为任意常数.
时，对系数阵作初等行变换有
故方程同解方程组为
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