2016年浙江大学地球科学学院高等数学四复试考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：
【答案】（1）
当p>1时，
收敛；当
时，时，由
于时，级数
是交错级数，且满足莱布尼茨定理的条件，因而收敛且为条件收敛；
当
，此时级数发散，综上可知，当p>1时，级数绝对收敛；当
条件收敛；当
（2
）
收敛，即原级数绝对收敛。 （3）
则
而级数
发散，由极限形式的比较审敛法知
发散，而
时，级数发散。
而级数
收敛，
由比较审敛法知
是交错级数且满足
莱布尼茨定理的条件，因而收敛，故该级数条件收敛。
（4）
则
由比值审敛法知
2． 求函数
【答案】解方程组
求得驻点
。
第 2 页，共 33 页
收敛，即原级数绝对收敛。
的极值。
又
由判定极值的充分条件知，在点
处，函数取得极小值
5.
求函数
答:条件由
在适合附加条件
可表示成，得
下的极大值。 ，代入。又
由一元函数取得极值的充分条件知，
为极大值点，极大值为
3． 自点标为（点
，则问题化为求
的极大值。
（，0，
；）
）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.
为点
关于xOz 面的垂线，垂足F 坐
，
，0）；
为
为点
关于xOy 面的垂线，垂足D 坐标为（
，
）
. ，0，0）；
为点
关于y 轴的垂线，垂
）
.
【答案】设空间直角坐标系如图所示，根据题意，关于yOz 面的垂线，垂足E 坐标为（0，为点
，0）；
为点
关于x 轴的垂线，垂足A 的坐标为（
足B 的坐标为 （0，关于z 轴的垂线，垂足C 的坐标为（0，0，
图
第 3 页，共 33 页
4．
求函数
在球面
上点处，沿球面在
该点的外法线方向的方向导数。
【答案】
设
处的外法线方向向量可取为
的方向余弦为
又
故
，
则
，
于是球面在
5． 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:
（l ）x=2; （2）y=x+1; （3）
（4）
yOz 面平行的平面.
（2）y=x十1在平面解析几何中表示斜率为l ，y 轴截距也为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于z 轴的平面.
（3）
在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2的圆，在空间解析几何中
第 4 页，共 33 页
【答案】（1）x=2在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与