2016年云南师范大学数学学院高等数学(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】
设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
2． 求幂级数
【答案】
幂级数的系数
的收敛域、核函数.
. 由于
=1，故得到收敛半径R=1，
将己知点的坐
当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（—1, 1）令和函
数
则
其中
所以
3． 求函数
【答案】
在点（0, 0）的三阶泰勒公式。
于是
又
将以上各项代入三阶泰勒公式，便得
其中
4． 一球形行星的半径为R ，其质量为M ，其密度呈球对称分布，并向着球心线性增加。若行星表面的密度为零，则行星中心的密度是多少?
r 0≤r ≤R ）【答案】设行星中心的密度为脚，则由题设，在距球心（处的密度为
。
由于，故，即
于是
因此
5． 设
【答案】
6． 已知
【答案】因为
于是
，计算在x=2处当△x 分别等于1, 0.1, 0.01时的△y 及dy 。 ，试按定义求
。
二、证明题
7． 证明以下各式（其中
（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）因为
）：
。