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一、计算题

1． 一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成。试求当一质量为m 的质点沿圆周针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功。

【答案】依题意，

t 从0变到，因此

2． 求曲线y=ex 在点（0，1）处的切线方程。

【答案】

按逆时

，即x-y+1=0。 故曲线在（0，1）处的切线方程为y-1=1·（x-0）

3． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。

（l ）如果（2）如果（3）如果

存在，但和存在，但

不存在，那么都不存在，那么

不存在，那么

存在，则

在

时的极限都不存在，但

在

不存在; 不存在;

不存在.

也

【答案】（l ）对。因为，若存在，与己知条件矛盾.

（2）错。例如时的极限存在.

（3）错。例如 4．

设

，其

中，

其中

何意义说明柱体位于

与

之间的关系。

不存在，但。

；

又

。试利用二重积分的几

【答案】解法一:由二重积分的几何意义知，表示底为的体积;

表示底为

、顶为曲面

:

上方的曲面:

、顶为曲面:的曲顶柱体

的曲顶

的体积（图）. 由于

分成四个

关于yoz 面和zox 面均对称，故yoz 面和zox 面将

等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为。由此可知

图

解法二:

设

关于x 是偶函数，故

又由于

关于X 轴对称，被积函数

关于y 是偶函数，故

从而得

5． 求心形线

【答案】

6． 求曲线

【答案】

，即2x-y=0，法线方程为（x-0）

的全长。

上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。

0），因此曲线在点（0，处的切线方程为y-0=2，即x+2y=0。

。由

于

关于y 轴对称，被积

函数

二、证明题

7． 证明下列不等式:

（l ）当（2）当x>0时,

时,

（3）当时,

【答案】（l ）取函数当故即

时, 在

内单调增加, 因此, 当, 亦即

当即亦即（3）设知至少存在一点

设当从而

8． 求下列极限:

（1）

时,

, 则

, 所以, 因此, , 使

在

时,

时

,

（2）取函数

内单调增加, 因此, 当x>时, f （x ）>f（0）,

故f （x ）在

在[a, b]上连续, 在（n , b ）内可导, 由拉格朗日中值定理

上单调减少, 而

, 从而,

（2）

【答案】（1）

（2）