2016年天津理工大学理学院高等数学考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 计算曲线
【答案】
2． 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:
【答案】（1）容易求出此级数的收敛半径为1，当
时，
在上式两端对x 求导得
又原级数在
处发散，故它的和函数
（2）不难求出此级数的收敛半径为1，当
时，
有
在上式两端分别从0至x 积分，并由于
又原级数在
处均发散，故它的和函数
在x=0处收敛于0，故得
相应于
的一段弧的长度。
（3）记级数为
其收敛半径为1，当
时，有
在上式两端分别从0至x 积分，并注意到
在x=0处收敛于0，故得
又原级数在
处均匀发散，故它的和函数
当
当
时，
（4）容易求得此级数的收敛半径为1，收敛域有
其中
3． 计算
，
其中
为球面
及三个坐标面所围成的在第一卦
故原级数的和函数
限内的闭区域.
【答案】解法一:利用直角坐标计算. 由于
故
解法二:利用球面坐标计算，由于
故
4． 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:
（1）（2）
【答案】（1）f （1）在[0, 1）及（1, 2]内连续，在x=1处，
，又
（2）f （x ）在处
函数的图形如图2所示。
与但
。
故f （x ）在x=1处连续，因此f （x ）在[0, 2]上连续，函数的图形如图1所示。
内连续，在x=-1处间断，但右连续，因为在x=-1
即
。
图1 图2
5． 改换下列二次积分的积分次序:
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