2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明：交错级数
则由
即式
成立.
单调递减. 设所给的极限为
取
满
和
(收敛。 适当小) ，有
可知，存在
当
【答案】先证明一个不等式。设事实上，令
时，有足
下面回到本题。由已知的极限，当n 适当大时，
则当n 适当大时，有
这里应用了不等式(1) ，由此可知，存在
使当n 适当大时，有
由莱布尼茨判别法，
2． 1) 证明：若数列
收敛。
是无穷大数列：
2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：
1)(1) 因为【答案】时，
于是
由此得，当n>N时，所以
也是无穷大数列.
，设r 是一个满足不等式
于是，当n>N时，
因为r>l, 所以
是无穷大数列. 因此，
是无穷大数列，
即
是无穷大数列.
的实数，由数列极限的保号性知，存
(2) 因为
，
由
知
是无穷大数列，
所以对于
存在正整数N ，使得当n>N
满足下列条件之一，则
在正整数N ，使得当n>N时，
2)(1)
根据上题(1) 的结论有
(2)
于是
所以
故
3． 证明
：
【答案】
由于所以上式综上可得 4． 设
并求【答案】
(
为正整数) ，证明：
，
移项解得
同理
移项解得
由上述结论可得
而
故
5． 设
在
上连续，且有惟一最小值点
则
于是
这与最小值点的惟一性矛盾.
6． 用定义证明:(1) 若
(2)
若
则则
在
若.
中可选取子列
满足
由于这个
显然
【答案】假设
且
子列有界，由致密性定理，可从它中再选取一个收敛子列，
仍记为