2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院723数学分析之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明：级数
【答案】证法一：记
的项最多有
由阿贝尔变换得
由柯西收敛准则知原级数收敛.
证法二：将该级数中符号相同的项加括号得
因为
即同理可证
故
2． 设角是常数).
【答案】
故
第 2 页，共 44 页
收敛.
，则任意的n , 存在k ，使
因为
所以
故
中使得
为单调递减数列且趋于0, 故交错级数
可微，证明：在坐标旋转变换
收敛，从而原级数收敛.
之下
则必有
是一(其中旋转
个形式不变量，即若
3． 设
证明函数
在D 上不可积.
【答案】对D 上任意分割
，若在每个取点
若在每个
在(当
取点时) . 即
为非有理点，则
在D 上不可积.
证明：函数
也
因此
的极限不存
使
皆为有理数，则
4． 若函数u=u(x ，y ) 满足拉普拉斯方程满足这个方程.
【答案】设而由
则
及
注意到
则有
即v 也满足拉普拉斯方程.
5． 证明下列结论：
⑴当(2)
若
时，
在点a 的邻域
内连续，
有
且
【答案】(1)
令
使得
第 3 页，共 44 页
使得其中并求和
，则
在
上
对
利用拉格朗日定理，
当
时
，
令
则
于是有
从这个式子中可解得
由亍
>所以
且易知
(2) 由泰勒定理知
其中
比较
的两个展式有
于是
令
1取极限，利用
阶导数的定义及
在
内连续有
6． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零，证明:此函数恒为零.
【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列
可以证明对于任意的无理点，函数值都为零，对于区间上的任意无理点使得
则由函数的连续性可知
即证得在任意的无理点处函数值都为零.
又由已知函数在任何有理点为零，故此函数恒为零.
7． 设函数
【答案】令
证明则
故
存
二、计算及讨论题
第 4 页，共 44 页