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一、证明题

1． 设f 在

【答案】(1) 设是，当

时，有

上连续，且

则对于

存在. 证明：f 在存在正数

上有界. 又问f 在使得当

时有

上有界.

在上无最大值.

则A 中

上连续，

且有

在都满足因为

由此不等式知

则由条件有

这与

的最小性相矛盾，故

即

若有另外一个

使

矛盾，故不动点惟一。

3． 证明：级数

【答案】考察

显然m 适当大时，有

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上必于

上也连续.

有最大值或最小值吗？

时，有

因为f 在即f 在

(2) f

在

但f (x ) 在

2． 设

是有界闭集，

上无最小值. 而

如果

上连续，所以f 在闭区间

根据连续函数的有界性知，存在正数G ，

使得当

上不一定有最大值和最小值.

例如

于是，

对一切

有且仅有一点X ，使得

【答案】令

为有界闭集A 上的连续函数，

因此存在

使

如果

则

发散于

使由于级数的通项趋于0, 故当

从而

二、解答题

4． 过点（4，0）作曲线

（1）求切线的方程；

（2）求由这条切线与该曲线及x 轴所围成的平面图形（如图所示）绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积

的切线.

图

【答案】⑴令

则

过点（4，0）作曲线

的切线，切线与x 轴交点的横坐标是

即切点的横坐标是

于是切线斜率为

（2）所求的旋转体的体积为

5． 设

满足方程组

这里所有的函数假定有连续的导数.

(1) 说出一个能在该点邻域内确定x ，y ，z 为u 的函数的充分条件； (2)

在

【答案】⑴设

由已知条件

内连续；

内具有一阶连续偏导数；

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切线方程是

的情形下，上述条件相当于什么？

故当

时，原方程组能在(2)

在

的邻域内确定

为U 的函数.

的情况下，上述条件相当于

即

6． 求曲线

两两互异.

的质量，设其线密度为

.

【答案】曲线质量为

7． 求

【答案】

而

于是

原积分

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