2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之数学分析考研题库
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2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]考研题库（一） .... 2 2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]考研题库（二） .. 10 2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]考研题库（三） .. 17 2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]考研题库（四） .. 24 2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]考研题库（五） .. 32
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一、证明题
1． 设，
且
求证：
【答案】改写
2． 用定义证明下列极限：
(1
) (2)
若
(3) 对黎曼函数
有
【答案】(1) 设
对
(当因为
取
则当
时有
即
(2)
对
由
于是有
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则
时考虑单侧极限).
则当时有假设
取
(3)
设限个有理数
使得
对
则当时，有从而有故
，因为满足
，
因而可取
的正整数q 只有有限个，从而在
使得
中至多只有有
内不含上述有限个有理数，
于是当从而
(当
时考虑0
时，不论x 是有理数还是无理数，都有
的右去心邻域和1的左去心邻域).
3． 验证是在
【答案】因为
上的一个原函数。
所以
而当
时，有
即
因而
即
是
在R 上的一个原函数。
证明：
4． 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集
(1)
. (2
)
【答案】(1) 对任意的
因此
对于任意正
数
，故
(2) 同理可证.
5． 设
在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明：
其中
是
沿L 外法线方向n 的方向导数.
所以
. 存
在
即
存在
是A+B的一个上界.
使
得
于是
，
并
且
使得c=a+b, 则设
于是
【答案】因为
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因为在D 上具有连续偏导数，由格林公式得
故
6． 若
在
只
要
内连续，且
则
对又因
为
存在，求证：存
在
在
则有
即
在
内有界.
L 为D 的正向边界. 试证：
7． 已知平面区域
(1) (2)
【答案】(1) 方法一由于
所以欲证的等式成立. 方法二由格林公式，有
因为D 关于直线y=x对称，所以左边=右边. (2) 方法一由(1) ，利用平均值不等式得
方法二由(1) 得
使得
当
在
时
，
内有界.
即
有使
得
【答案】
设
上连续，所以存
在
二、计算及讨论题
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