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一、计算题

1． 设随机向量（

）满足条件

其中

【答案】对等式同理, 对等式同理, 对等式

进一步当d 尹0时, 对等式由此可得

将上面三个式子分别代入

的表达式中, 可得

2． （1）某种岩石中的一种元素的含量在25个样本中为：

有人认为该样本来自对数正态分布总体，请设法用w 检验方法作检验（【答案】（1）首先应对数据进行对数变换. 记在下表中，

由此可算得

表

）.

）.

（2）对（1）题的数据，试用EP 检验方法检验这些数据是否来自正态总体（取

均为常数, 求相关系数

的两边求方差得

的两边求方差可得

的两边求方差可得

的两边求期望得（a+b+c）d=0, 所以有a+b+c=0,

由此解得

则25个y 的观测值可算出，我们把它列

从上表中可以计算出W 的值：

当n=25时，查表知故在显著性水平

拒绝域为

由于样本观测值没有落入拒绝域内，

上不拒绝原假设，即可以认为样本来自对数正态分布.

在附表11中通过线性插值得到n=25时的0.95

分位数约为

计算得到的

小于该临界值，因此在显著性水平

（2）该问题可按计算TEP 的框图用任一种软件编程计算，这里用SAS

软件编程算得

若取显著性水平

0.05下接受这些数据是来自正态总体的.

3． 某血库急需AB 型血，要从身体合格的献血者中获得. 根据经验，每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的.

（1）求在20名身体合格的献血者中至少有一人是AB 型血的概率；

（2）若要以95%的把握至少能获得一份AB 型血，需要多少位身体合格的献血者？ ，

则【答案】设共有n 位身体合格的献血者，记事件八为“第i 名献血者是AB 型血”

n.

（1）所求概率为

（2）由题意知

由此解得

所以取n=149时，可保证以95%的把握至少获得一份AB

型血.

4． 某厂决定按过去生产状况对月生产额最高的5%的工人发放高产奖. 已知过去每人每月生产额X （单位：kg ）服从正态分布N （4000，602），试问高产奖发放标准应把生产额定为多少？

【答案】根据题意知，求满足95%分位数. 又记得

因此可将高产奖发放标准定在生产额为4099kg.

5． 设

是来自均匀分布

与

的一个样本，寻求α与β的无偏估计. 可分别用来估计

但它们都不是无偏估计，

的k ，即

其中

为分布

的可

为标准正态分布N （0，1）的p 分位数，则由

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量

与

的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明：

与

不是α与β的无偏估计，但做恰当修正后，可获得α与β的无偏估计. 把（*）

或

再使用加减消去法，即可得

的无偏估计分别为

6． 甲掷硬币n+1次，乙掷n 次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

【答案】记

又记

由于正反面的地位是对称的，因此P （E ）=P（F ）. 又因为

所以由

得P （E ）=0.5.

此题的求解过程中利用了出现正反面的对称性. 在古典方法确定概率的过程中，对称性的应用是很常用的. 事实上，确定概率的古典方法中所谓“等可能性”，就是要使样本点处于“对称”的地位. 利用对称性的优点是可以简化运算、避开一些繁琐的排列组合的计算. 此题若直接用排列组合来计算，则相当繁琐，具体过程见下：

因为甲掷n+1

次硬币共有

种可能，乙掷n 次硬币共有种可能，

因而样本点的总数为

则所求概率

又记乙掷出k 个正面，甲掷出k+1个正面，

P （甲掷出的正面数>乙掷出的正面数）

与（**）两式相加与相减可得