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一、计算题

1． 设总体密度函数为

【答案】对数密度函数为

x ＞0, θ＞0，求θ的费希尔信息量I （θ）.

于是

由此给出

2． 如果二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数为

试求X 和Y 各自的边际分布函数. 【答案】因为

所以X 和Y 各自的边际分布函数为

可见, 这两个边际分布都是指数分布, 但这两个分布对应的随机变量不相互独立.

3． 掷三颗骰子，求以下事件的概率：

（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数，则

（1）（2）

中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数

中有返回地任取三个，所有可能为

这是分若记Y

母，而“最大点数小于等于5”，相当于从

4． 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.

【答案】记为第i 颗骰子出现的点数, 列为

表

所以

由此得

5． 求以下分布的中位数：

（1）区间（a ，b ）上的均匀分布； （2）正态分有（3）对数正态分布【答案】（1）从1（2）记

（3）记则由（2）知

由此得

求

即

6． 掷一颗骰子两次，以x ，y 分别表示先后掷出的点数，记

【答案】

所以

7． 设

如果

得1-p=3p（1-p ）.

由此解得p=l/3或p=l.因为p=l导致X 为单点分布，即X 几乎处处为0，这无多大实际意义，

则独立同分布, 其共同的分布

中解得

由

令X=Iny，

则

可得又记

为Y 的中位数.

为X 的中位数，

求P （X=0）.

所以由

，则P （X=l）=1-p，因为

【答案】记p=P（X=0）

故舍去. 所以得

8． 设随机变量X 的分布函数为

试求E （X ）. 【答案】利用可得

公式，

二、证明题

9． 设

服从多项分布

其概率函数为：

其中即

其中

，i=l, ……k ,

.

记

并把这一分布记作

. 证明：的后验

为参数，

若

的先验分布为Dirichlet 分布，

分布为Dirichlet 分布

【答案】因为的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet 分布

，其中

10．设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为