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一、计算题

1． 根据调查, 某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位:千元）:

试画出茎叶图.

【答案】取整数部分为茎, 小数部分为叶, 这组数据的茎叶图如下:

图

2． 向

中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.

的高CD ，记CD 的长度为h （如图）

.

【答案】先求X 的分布函数，作

图

=0；，设X 的分布函数为F （X ）则当x<0时，有F （x ）当时，为了求概率

作

=1；时，有F （x ）而当

使EF 与AB 间的距离为x. 利用确定概率的几何方法，可得

综上可得

由此得X 的密度函数为

故X 与

的数学期望为

从而得X 的方差与标准差分别为

3． 某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中被盗索赔户占20%, 以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

（1）写出X 的分布列；

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 【答案】（1）X 服从n=100, p=0.2的二项分布b （100, 0.2）, 即

（2）利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 有

这表明:被盗索赔户在14与30户之间的概率近似为0.9437.

4． 在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数

（1）（2）（3）（4）称, 所以

关于0.5对

=0.5, 于是样本中位数

的渐近分布为

所以

的渐近分布为, 所以相应的中位数为

所以

的渐近分

的渐近分布.

【答案】（1）先求出总体的中位数. 该分布是贝塔分布Be （2, 2）, 可以看出（2）正态分布

的中位数为

（3

）该分布的密度函数为布为

（4）该分布的密度函数关于y 轴对称, 故相应的中位数为0, 所以

5． 设

【答案】

若令

可得

再令

可得

当k 为偶数时，当k 为奇数时，

求

的渐近分布为

6． 设随机变量X 服从区间（2，5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.

【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为

设Y 为此种观测（X>3）的次数，则Y 〜b （3，2/3），由此得

7． 设

是来自几何分布的样本，总体分布列为

θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；

（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计. 【答案】（1）样本和θ的联合密度函数为

于是

因此，θ的后验分布为