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一、计算题

1． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求

当

时,

由此得

2． 进行独立重复试验, 每次试验中事件A 发生的概率为0.25. 试问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少？此时A 发生的次数在什么范围内？

为1000次试验中事件A 发生的次数,

则

设事件A 发生的频率（）与概率0.25的差为k , 根据题意, 可得如下不等式

【答案】

记

或

利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得

由此得

查表得

从中解得

这表明在1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不小于0.02634,

且

. 所以

【答案】先求条件密度函数

或者说, 在1000次试验中事件A 发生的次数在次间, 即在223次到277次间.

3．

设总体为均匀分布是样本，考虑检验问题

拒绝域取为

0.05, n 至少应取多大？

【答案】均匀分布

求检验犯第一类错误的最大值

的最大次序统计量

的密度函数为

若要使得该最大值不超过

因而检验犯第一类错误的概率为

它是的严格单调递减函数，故其最大值在若要使得

则要求

处达到，即

这给出

即n 至少为17.

，求常数A

4． 设二维随机变量（x ，y ）的概率密度为及条件概率密度

【答案】由题设可知

于是

X 的边缘概率密度为

于是当

时，条件概率密度

5． 某人想用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股. 假设一年后该股票等可能的为1元/股和4元/股. 而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买. 试问理财顾问的建议是否正确? 为什么？

【答案】如果现在就购买2元/股，则10000元可购买5000股. 记X 为一年后所拥右的股票市值X 的分布列为

表

1

。

所以E （X ）=12500元，比一年后购买（市值为10000元）大.

如果一年后购买，记Y 为一年后所购股票数，则10000元等可能地购买10000/1=10000股或10000/4=2500股，所以Y 的分布列为

表

2

，比现在就购买（5000股）多. 由此得E （Y ）=5000+1250=6250（股）因此，理财顾问的建议是正确的.

6． 某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中被盗索赔户占20%, 以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

（1）写出X 的分布列；

（2）求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 【答案】（1）X 服从n=100, p=0.2的二项分布b （100, 0.2）, 即

（2）利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 有

这表明:被盗索赔户在14与30户之间的概率近似为0.9437.

7． 随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差s=11m/s, 若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差的0.95置信上限.

【答案】在正态分布下，对样本方差有

故标准差的

置信上限为

现

查表知

故标准差的0.95置信上限为

8． 设

是来自几何分布的样本，总体分布列为

θ的先验分布是均匀分布U （0，1）. （1）求θ的后验分布；

（2）若4次观测值为4, 3, 1，6, 求θ的贝叶斯估计.

，从而有等价地

，