2017年华南师范大学01302高等数学基础考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 已知函数
满足
，且
，求曲线
所成
的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积。
【答案】由于函数连续函数；又
故知令
，可得
，得到
；且当y=-1时，x 1=1，x 2=2；则曲线
2． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
3． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
满足
，
所
，故
，其中C （x ）为待定的
成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积为
于是所求积分曲线的方程为
【答案】对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则它们是线性相关的，否则就线性无关，因此本题中除了
（2）（3）（7）
即（2）（3）（7）中的函数组线性相关外，其余的7个函数组中两函数之比不是常数，从而线性无关。
4． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成
2
反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
，
，故有微分方
程
，分离变
量
，且由，积分
得
二、计算题
5． 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
（1）x=0; （2）3y －1=0; （3）2x －3y －6=0; （4）（5）y ＋z=1; （6）x －2z=0; （7）6x ＋5y －z=0.
【答案】（l ） ～（7）的平面分别如图1-图7所示. （1）x=0表示yOz 坐标面. （2） 3y －1=0表示过点（4）
且与y 轴垂直的平面.
;
（3）2x －3y －6=0表示与z 轴平行的平面.
表示过z 轴的平面.
（5）y ＋z=1表示平行于x 轴的平面. （6）x －2z=0表示过y 轴的平面. （7）6x ＋5y －z=0表示过原点的平面.
图1 图2 图
3
图4 图5 图
6
图7
6． 求球面
【答案】在
即
它表示母线平行于z 轴的柱面，故程.
表示已知交线在xOy 面上的投影的方
与平面x+z=1的交线在xOy 面上的投影的方程.
中消去z ，得
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