2017年华南师范大学01302高等数学基础复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
2． 已知函数
满足微分方程
且
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得 3． 设
【答案】在算不方便，故令
，其中f 为可微函数，求
。
函数取得极大值函数取得极小值
且
得
可
即
知
，则
，
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
中，由于函数f 不是以单独一个字母作为自变量，从而造成计，得
，故
则
4． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
二、计算题
5． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长.
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【答案】（1）
，代入弧长的公式，得
所以L 的弧长
（2）根据形心公式有
6． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1
所围成；
，其中积分区域D 是由圆周
围成；
，，1, 1），其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1, 0）（
；
（2, 0）
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，
，故有
所
。
根据二重积分的性质4，可得
（2）由于积分区域D 位于半平
面
。从而
（3）由于积分区域D 位于条形区域
，从而有
。因此
（4）由于积分区域D 位于半平面而
，因此
7． 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20m 长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
【答案】如图, 设这问小屋的宽为x , 长为y , 则小屋的面积为S=xy。 已知令由
, 即
, 得驻点
知x=5为极大值点, 又驻点惟一, 故极大值点就是最大值点, 即当宽为5m , 长为10m
, 故
内，故在D 上有
，从
。
内，故知区域D
上的点满足
内，故在D 上
有
时这间小屋的面积最大。
图
8． 求下列函数的反函数:
（l ）