2017年重庆大学数学与统计学院621数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若
则
.
为.
对任意
上连续，所队有
其中
依次进行下去，可知存在当又对一切
2． 证明：数.
【答案】
由
的凸性知
所有
即
.
故
为上的凸函数.
则称数列显然
存在正整数N , 当
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上的连续函数，且对一切
有
'
在
有
其中
【答案】
显然
，
而对于上面的
上存在最大值M.
使得
所以
函数
时，有连续，所以
有
为区间
上凸函数
为上的凸函
为上的凸函数
.
因为函数.
为
上的凸函数，所以
3． 若存在数c ，使得
证明：凡有有界变差的数列是收敛的，反之不一定成立.
【答案】所以数列
收敛. 由柯西收敛准则，对
有有界变差.
单调递增且有上界，
即
时有
于是对数列所以数列
，当丨收敛.
时有
反之不一定成立. 例如数列1, 但它不是有有界变差的. 事实上，
它是以0为极限的收敛数列，
而数
列
4． 设a ，b ，
【答案】由于当
时，原不等式化为
是发散的，又是递增的，所
以不是有界的.
(
表示全体正实数的集合) . 证明
故只需对
的情形进行证明.
于
是
你能说明此不
等式的几何意义吗？
上式等价于
两边平方，得
即
由于即
当
所以上式等价于
时，这个不等式是成立的. 所以原命题成立.
的两边之
题中不等式的几何意义如图所示，其中AB=a, BD=b, BC=c.其几何意义表示差小于第三边
.
图
5． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若
【答案】由复合函数求导法则可得
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则在处有
由
得
故当X=1时
6． 设f 为R 上的单调函数，定义是，g 的定义域是R ,
由于
即
就有
即当
证明在R 上每一点都右连续.
极限使得当
时，把y 限制在
故g (x )
在
都存在. 于
时
内，
右连续.
【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理，对一切
对于任给的
于是，当时
存在
由的任意性知，g 在R 上每一点都右连续.
7． 设为正数证明：方程
在区间
与
内各有一个根.
f (X ) 为初等函数，因此f (X ) 为连续函数. 由于
由根的存在性定理，必存在令
则
即
(2) 证法二：
令
且
得
.
故方程
使得在
在
因
为
由连续函数根的存在定理知，
存在
内有一个根. 同理可证，方程.
在
内各有一个根.
所以存
在
使
内也有一个根.
使得
故有
【答案】(1) 证法一：设辅助函数
二、解答题
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