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一、解答题

1．

已知

与

相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使

【答案】由

于故B 的特征值

为

从而B

可以对角化为

分别求令

所对应的特征向量，

得

有

即a=5.

由

得A ，B 有相同特征值

，

故

再由得b=-2, c=2，于是

分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得

：令

记

有

.

因此

即

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则

P 可逆，且 2．

已知

，

求

【答案】

令则且有

1

所以

3． 设矩阵

求一个秩为2的方阵B.

使

【答案】令

即

取.

进而解得的另一解为则有

.

的基础解系为：

方阵B 满足题意.

令

4． 已知

A

是

矩阵，齐次方程组的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

又知齐

次方程组Bx=0的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ）如果齐次线性方程组【答案】（1）记

由

贝腕阵的列向量（即矩阵

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A

的行向量）是齐次线性方程组的解.

对

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

其中t 为任意常数.

二、计算题

5． 举反例说明下列命题是错误的：

（1

）若

（2

）若

则

则有

有

但

，但且

但

则A=（9或A=五；

（3）若AX=AY ,

且

【答案】

⑴取

⑵取

（3）取有AX=AF，

且 6．

设

问λ为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 【答案】由于系数矩阵是方阵，其行列式