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一、解答题

1． 求由抛物线

与

所围图形的面积。

和

所围图形的面积为

【答案】该平面图形如图所示. 两条曲线的交点为

图

2． 对幂级数

(1) 求收敛域；(2) 求和函数；(3) 讨论幂级数在收敛域上的一致收敛性. 【答案】(1) 由

于

的收敛域为

(2)

令

则

其中故(3)

取

则

由于

不趋于0,

于是

在

所以

所以收敛半径为1,

又

发散，

故

(-1，1) 上不一致趋于0, 故该幂级数在收敛域上不一致收敛.

3．

试求不定积分

【答案】

与

进而求出不定积分

与

其中

为任意常数

. 可得

可得

4． 设

【答案】因为

求极限

且

所以当时，

当时，

5． 设y=y（x ）是可微函数，求

其中

【答案】将已知等式两边对x 求导得

将x=0代入，可解得y （0）=0, 再将x=0代入，得

6． 设流

速

【答案】(1) 圆由于

为常数) 求环流量:(1) 沿圆周

. 的向径适合方程

(2) 沿圆

周

故所求的环流量为

(2) 对圆周由于

故所求的环流量为

有

二、证明题

7． 设

【答案】由. 8． 设

【答案】设. 时，

有

取

由此推出，当n>N时 9． 设

为递减正项数列，证明：级数

的部分和为

与

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

故若又有

证明：

代入得

且aN时，有因为b>a，所以又由于

由于对于

. 故当n>N时，有

对于存在正整数

存在正整数

使得当

使得当时，

有

.

当n>N时，同时有

【答案】设级数

故

级数为递减的正项数列，

收敛，则也收敛；若发散，则也发散.