2017年武汉科技大学线性代数(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1．
设
求X.
【答案】AX=2X+A得（A-2E ）X=A.欲解此方程，需要①判断A-2E 为可逆矩阵；②进一步
-1
求X=（A-2E ）A. 这两件事可由（A-2E , A ）的行最简形一起解决
.
上述结果表明
故A-2E 可逆，且
2． 利用逆矩阵解下列线性方程组：
【答案】将方程组写作矩阵形式Ax=b, 这里，A 为系数矩阵，为常数矩阵.
（1）因
故A 可逆，于是
为未知数矩阵，b
即有
（2）因故A 可逆，于是
即有
3． 已知向量组A
:
【答案】记矩阵因A 组与B 组等价
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩
.
即知R （B ）=R（B ，A ）=2, 且，因此，向量组A 与B 等价. 4． 问
取何值时，齐次线性方程组
有非零解？
又
与不成比例，故R （A ）=2.
B ：
证明A 组与B 组等价，
【答案】方程组的系数行列式必须为0. 因
故只有当
或
时，方程组才可能有非零解.
当=0, 原方程组成为
显然当
原方程组成为
是它的一个非零解；
显然
5． 已知矩阵A 的伴随阵
【答案】先由来确定
故
再化简所给矩阵方程
由
知
得于是
6． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
，从而AB 是正交阵.
7． 设矩阵
【答案】先求x ，y :
因得y=l+x.
因由
再求正交阵P. 对应
解方程（A-5E ）x=0，由
是它的一个非零解. 因此，当
且
由题意知
存在，有
或求B. 得，
时，方程组有非零解.
而
于是AB 可逆，且有
与相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使
相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：
5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.
是A 的特征值，有
得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A 的特征值为