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一、证明题

1． 若

为从分布族

为充分统计量.

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知,

2． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

3． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

4． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

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中抽取的简单样本,

试证

为充分统计量.

令

时, 有

时, 有

当, 结论得证.

则

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论.

5． 设

（1）（2）（3）

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

由此得

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

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则

从而的有效性最差.

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

6． 总体

（1）证明

其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；

为取自该总体的样本，为样本均值.

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

则

从而

于是，

这说明

是参数的无偏估计. 进一步，

这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为

因而θ的最大似然估计为

下求

的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为

故

从而

这说明

不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又

因而

是θ的相合估计.

是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似

置信区

7． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

8． [1]设间为

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显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围