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一、计算题

1． 设总体X 服从正态分布量，考虑统计量：

求常数

使得

都是的无偏估计.

即可. 注意

到

我们只需要求出如下期望即可完成本题：为来自总体X 的样本，为了得到标准差的估计

【答案】由期望的公式及对称性，我们只需要求

出

（为什么？）和

设

则

于是有

和

从而给出

2． 设二维随机变量u , n 的联合密度函数为

求【答案】

的非零区域与

的交集为图阴影部分, 所以

图

3． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球，从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率.

【答案】从两个口袋中各取一球，共有出黑球，这共有

种取法，于是

4． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为

表

1

表

2

已知P （XY=0）=1, 试求

的分布列.

表

3

种等可能取法，而两个球颜色相同有两种情况：

第一种是从甲口袋取出白球、从乙口袋也取出白球；第二种是从甲口袋取出黑球、从乙口袋也取

【答案】记（X , Y ）的联合分布列及各自的边际分布为

由题设条件P （XY=0）=1, 知

表4

所以得代入上表得

此时从下表可得

即（X , Y ）的联合分布列为

由此又得, 进而确表

5

所以的分布列为

表

6

5． 设二维随机变量

【答案】记因为

在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布,

试求

服从D 上的均匀分布, 且D 的面积, G 的面积

所以所求概率为

6． 设随机变量X 的概率密度为

（1）求Y 的分布函数； （2）求概率

从而a=9.

令随机变量

【答案】（1）先求常数a 的取值：设随机变簠Y 的分布函数为

则

故随机变簠Y

的分布函数为