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一、证明题

1． 设数为

是来自均匀分布

其中

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

2． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

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是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

时,

一致地有

时,

有

服从大数定律.

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

3． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

即X 与Y 不相关.

4． 设

为来自

的i.i.d 样本，其中

）.

两个参数空间分别为

利用微分法，

在

下

于是似然比统计量为

在

时

由于

故只需考虑

的情形，此时A 为

的单

分别为

的MLE.

而在

下

的MLE

为

样本的联合密度函数为

未知. 证明关于假设

的单侧t 检验是似然比检验（显著水平

【答案】记

调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域

由t 检验的结论知，

这就完成了证明.

都服从区间（0，1）

5． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证：上的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

，且的可能取值范围是（0，1）

所以

是严格单调减函数，其反函数为

的密度函数为

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即又

由

知

也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.

6． 证：事件A 与B 独立的充要条件是

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

7． 设随机变量

【答案】因为

所以

8． 设随机变量

由此得独立同分布, 且

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

, 这正是伽玛分布

, 所以由

诸

的相互独立性

得

特征函数为

中任意两个的相关系数都是p , 试证:

独立，由此得

即

的特征函数, 由唯一性定理知

二、计算题

9． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.

【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为10! ，这是分母. 若把指定的四本书看作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有7! 种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将这指定的四本书作全排列，共有4! 种可能放法. 故总共有7!×4!种可能放法，这是分子，于是所求概率为

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