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一、解答题

1．

已知

与

相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使

【答案】由

于故B 的特征值

为

从而B

可以对角化为

分别求令

所对应的特征向量，

得

有

即a=5.

由

得A ，B 有相同特征值

，

故

再由得b=-2, c=2，于是

分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得

：令

记

有

.

因此

即

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则P 可逆

，

且

2．

已知

通解是

.

,

证明

【答案】

由解的结构知

是4

阶矩阵，其中

是齐次方程组

故秩

是4维列向量.

若齐次方程组Ax=0

的的基础解系

.

又由

得

因与

可知综上可知，

3．

已知矩阵可逆矩阵P ，使

有

即故

都是

的解. 由

线性无关. 由

是

得的基础解系.

那么

和

若不相似则说明理由。

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A 的特征值是当

时，

由秩

知

有

2个线性无关的解，即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。

4． 已知. 求且

【答案】由题意知

故

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又

又

知

即

得

故

知

二、计算题

5． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求

【答案】

由特征值性质得A 的特征值时

，阶方阵，

故

6． （1

）设

求

是B 的特征值.

分别取

知A 可逆，并且

因为当

为

知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3

（2

）设

求

【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵

⑴由

求得A

的特征值为对应

解方程（A-E ）x=0，由

得单位特征向量

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得单位特征向量令

则P 是正交阵，且有