2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1.
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵,其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
,
2. 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法,
假设以有
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是矩阵
且
得的基础解系.
那么
有唯一解. 证明:
矩阵为A 的转置矩阵).
易知
为可逆矩阵,
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
有非零解,即存在
于是方程组
有非零解,这与
解矛盾,故假设不成立,
则
由
.
得
3. 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为,
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故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵,则其一定可以对角化,且
所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1,故矩阵B
对应n-1重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵(
0E-B )
的特征向量应该有n-1个线性无关,进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量,即矩阵B 一定可以对角化,且从而可
知n 阶矩阵
与相似.
4.
已知矩阵可逆矩阵P ,使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似,若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是当
时,由秩
知
有2个线性无关的解,即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量,矩阵
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A 可以相似对角化,因此矩阵A 和B 不相似。
二、计算题
5.
设
是m
阶矩阵
的特征值,证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值
,是对应于它的特征向量.
即有用矩阵B 左乘上式两边,
得若再由
则由特征值定义知,为BA 的特征值. 下面证明
.
式得
因此
的项. 或
和
注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故
事实上,由
6.
写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列,
即
和
【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素,而它们又分别此行列式中含有
的项为
7. 举反例说明下列命题是错误的:
(1
)若
(2
)若
则
则有
有
但
,但且
但
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
则A=(9或A=五;
(3)若AX=AY ,
且
【答案】
⑴取
⑵取
(3)取有AX=AF,
且
8. 设3阶对称阵A
的特征值为与特征值
A.
【答案】方法一:(1)求矩阵A
的对应于特征值
由对称阵特征向量的性质知
,
其系数矩阵
与
和
都正交,即有
求
的秩等于1. 于是
,是它的一个基础解系,取其为
(2
)把向量组用施密特方法正交化,得
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