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2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库

  摘要

一、解答题

1.

已知通解是

.

, 证明

【答案】

由解的结构知

是4阶矩阵,其中

是齐次方程组

故秩

是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.

又由

可知综上可知

2. 设A

的解为【答案】

利用反证法,

假设以有

即故

都是

的解.

线性无关.

是矩阵

得的基础解系.

那么

有唯一解. 证明:

矩阵为A 的转置矩阵).

易知

为可逆矩阵,

且方程组

只有零解.

使

.

只有零

有惟一解知

则方程组

. 即

即有

可逆.

有非零解,即存在

于是方程组

有非零解,这与

解矛盾,故假设不成立,

.

3. 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为,

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故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵,则其一定可以对角化,且

所以B 的n 个特征值也为

=-B的秩显然为1,故矩阵B

对应n-1重特征值

对于n-1重特征值

由于矩阵(

0E-B )

的特征向量应该有n-1个线性无关,进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量,即矩阵B 一定可以对角化,且从而可

知n 阶矩阵

与相似.

4.

已知矩阵可逆矩阵P ,使

若不相似则说明理由。

试判断矩阵A 和B 是否相似,若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A 的特征值是当

时,由秩

有2个线性无关的解,即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量,矩阵

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A 可以相似对角化,因此矩阵A 和B 不相似。

二、计算题

5.

是m

阶矩阵

的特征值,证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.

特征向量

【答案】根据特征值的定义证明.

设A 是矩阵AB 的任-非零特征值

,是对应于它的特征向量.

即有用矩阵B 左乘上式两边,

得若再由

则由特征值定义知,为BA 的特征值. 下面证明

.

式得

因此

的项. 或

注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2, 故

事实上,由

6.

写出四阶行列式中含有因子位于第2列和第4列,

【答案】由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素,而它们又分别此行列式中含有

的项为

7. 举反例说明下列命题是错误的:

(1

)若

(2

)若

则有

,但且

对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量

则A=(9或A=五;

(3)若AX=AY ,

【答案】

⑴取

⑵取

(3)取有AX=AF,

8. 设3阶对称阵A

的特征值为与特征值

A.

【答案】方法一:(1)求矩阵A

的对应于特征值

由对称阵特征向量的性质知

其系数矩阵

都正交,即有

的秩等于1. 于是

,是它的一个基础解系,取其为

(2

)把向量组用施密特方法正交化,得