2018年西北农林科技大学理学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
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得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量
，矩阵
时矩阵
B 只有1个线性无
只有1
个线性无关的解，即
关的特征向量，
矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B
不相似.
3
．
设二次型
（1）证明二次型f 对应的矩阵为（2）若
【答案】（1
）由题意知，
记
正交且均为单位向量，
证明f 在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
，由于
所以为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量； 的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
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4． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
的基础解系
.
有无穷多解，矩阵
A
的特征值是
1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时
，方程组均有无穷多解。
当a=-l时
，
则当g=0时，则
值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ）
知
的基础解系，即为
的特征向量
二、计算题
5． 求解下列非齐次线性方程组：
（1）
（2）
（3）
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