当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.

【答案】设甲已先坐好，再考虑乙的坐法，显然乙总共有n-1个位置可坐，且这n-l 个位置都是等可能的，而乙与甲相邻有两个位置，因此所求概率为2/（n-1）.

2． 设随机变量X 服从区间（1，2）上的均匀分布，试求的密度函数.

【答案】X 的密度函数为

2）由于X 在（1，内取值，所以2）上为严格单调増函数，其反函数为函数为

3． 设律？

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

4． 一批产品共有100件，其中10件是不合格品. 根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接收，否则就要重新对这批产品逐个检验.

（1）试求5件中不合格品数X 的分布列； （2）需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少？ 【答案】（1）X 的分布列为

计算结果列表略.

，因（2）“需要对这批产品进行逐个检验”则意味着“检验5个产品，至少有一个不合格品”此所求概率为

的可能取值区间为1

，且

且

所以

在区间（1，

的密度

为独立的随机变量序列, 其中服从参数为的泊松分布, 试问是否服从大数定

5． 己知

【答案】由条件概率的定义知

其中

再由

可得

6． 设

试求1-X 的分布.

代回原式，可得

【答案】X 的密度函数为

因为

在（0，1）上为严格单调减函数，其反函数为

：

所以Y=1-X的密度函数为

这表明：当

时，1-X 与X 同分布.

且有

7 某产品的合格品率为99%, 问包装箱中应该装多少个此种产品, 才能有95%的可能性使每箱中．

至少有100个合格产品.

【答案】设包装箱中装有n 个产品, 其中合格品数记为X , 则有

成立. 利用二项分布的正态近似, 可得

查表可得

由此解得品.

, 即每箱装有104个产品, 能有95%的可能性使每箱中至少有100个合格产

下求m 使

8． 设总体X 的概率密度为自总体X 的简单随机样本。

（1）求的矩估计量。 （2）求的最大似然估计量。 【答案】（1）先求出总体的数学期望令（2）当

得的矩估计量时，似然函数为

其中为未知参数且大于零，为来

取对数得，令

得

，

解得的极大似然估计量为

二、证明题

9． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

10．利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证.

，则

11，设T 是g （θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE

，

的无偏估计，故其差

其中

,

是0的无偏估计，