2018年闽南师范大学数学与统计学院912高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选, ，从而否定C ,
故选B.
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
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则分块矩阵
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3． 设
则由基A.
是3
维向量空间
到基
的一组基,
的过渡矩阵为（ ）.
B.
C.
D. 【答案】A
4． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当
时，
由
，用
使
则（ ）.
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B
, D. 矛盾，从而否定A ，
故选C.
5． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
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【解析】设即证
与的解空间分别为则所以
二、分析计算题
6． 设
（1）（2）如果【答案】 （1）设因为A 是正定矩阵，所以故
（2）设因为A 和
其中
，则
都是正定矩阵，所以
，且.
故
即
都是n 阶实矩阵，且A 与
是B 的特征值，那么
, .
是
的特征值，
都是正定矩阵，证明:
，其中E 是n 阶单位矩阵
是A 的特征值，则
7． 已知
【答案】（1）因为
二次型
对A 施以初等行变换
的秩为2.
将f 化为标准形.
（1）求实数的值；（2）求正交变换
所以，当（2）由于
时，所以
于是当
的特征值为时，由方程组
可得属于2的一个单位特征向量
可得属于6的一个单位特征向量
可得属于0的单位特征向量
当
当1时，由方
时，由方程组程组
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