2018年鲁东大学数学与统计科学学院811高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
阶矩阵
若矩阵A 的秩为
则a 必为（ ）
A.
B.
C.
D. 【答案】B 【解析】
秩
故
或
但当a=1时，
秩
2． 若
都是4维列向量，且4阶行列式
则
=（ ）.
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
3． 设
是3维向量空间
的一组基,
则由基到基的过渡矩阵为（ A.
B.
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.
）
C.
D. 【答案】A
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E. 5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
则A 与B （ ）.
则为（ ）.
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
使
其中得
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
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因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 线性空间件是存在
使n 阶方阵
【答案】设显然成立, 假定
使
可逆
, 现在令
按最后一列展开, 设为
其中
于是
. 从而由（1）知, 反之, 设A 可逆且有实数
则对任意
即
阶方阵
使
分别代入上式得因此.
线性无关.
其中
但A 可逆
, 故
（因为
线性无关）, 从而存在可逆, 得证
.
使
（1）
（在实数域上）线性无关时结论成立,
即存在
可逆.
时结论
可逆,
对n 用数学归纳法, 当
（闭区间
上全体实连续函数）内函数
线性无关的充要条
7．
设
n 阶实方阵
A 如下，试求b 的取值范围使A 为正定方阵.
【答案】记为A 的k 阶顺序主子式，则
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