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一、证明题

1． 设随机变量序列数，并求出c.

【答案】因为

且

所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即

2． 设

是独立同分布的正值随机变量，证明:

【答案】记又因为由此得

3． 设

是来自

的样本，证明

为

，则诸同分布，且由

，所以有

没有无偏估计.

的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即

4． 证明:若明:

与

是未知参数

没有无偏估计. 的两个UMVUE , 则

依概率几乎处处成立. 这个命题表

处不存在导数.

，知|

存在且相等，

有

独立同分布，且

令

试证明:

其中c 为常

【答案】（反证法）假设

的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是

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是0的无偏估计，则已知

由此立即可得几乎处处成立，即

几乎处处成立.

.

利用此结果计算

5． 设随机变量X

服从参数为的泊松分布，试证明

:

【答案】

由此得

6． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为而

所以当

的特征函数为

时，

则

正是泊松分布的特征函数，故得证.

和

分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差

其中

与

分别为总体的分布函数与密度函数.

时，样本极差

的分布函数.

做变换于是

与

其逆变换为

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

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若

其中

7． （1）设分布函数

的

（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

雅可比行列式绝对值为

（2）对于指数分布

由（1）中结果，有

8． 设

则

为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.

所以由马尔可夫大数定律知

9． （伯恩斯坦大数定律）设有

【答案】记有

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

10．设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即

【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则

，即p （X ，y ）可分离变量，其中

下证充分性:因为

由联合密度函数的正则性，得

，所以记

.

又问

与边际密度函数有什么关系？

，必要性是显然的，因为X 与Y 相互

证明:

服从大数定律.

是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.

任对

存在

当

时， 时，一致地

的方差

一致有界，即存在常数c 使得

【答案】因为

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