2018年郑州大学联合培养单位黄淮学院915高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设P 是数域，
证明：存在可逆阵P , Q, 使
【答案】因为秩
所以
且和
秩
有相同的r 阶顺序主子式.
可逆阵P 、Q ，使
又因为所以有
所以
令
这里
均为r 阶方阵，
都是
阶方阵，将它们代入式（1）得
即
所以
式（3）代入式（2）得，
证完.
2． 讨论
取何值时，线性方程组
无解，有唯一解或有无穷多解，并求无穷多解时的通解. 【答案】
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（1）当（2）当（3
）
时，
时，时，
故方程组有唯一解. 故方程组无解•
方程组有无穷多解，一般解为
其中x 3, x 4
为自由未知量. 取特解为导出组的基础解系为故通解为
3．
设二次型
（1
）求二次塑 （2）若二次型
的矩阵的所有特征值； 的规范形为
的矩阵
求
的值.
为任意数.
【答案】 （1）二次型
由于
所以A 的特征值为
（2）解法1由于故有当当当
时，时|时，
的规范形为
所以A 的特征值有2个为正数，1个为零. 又
所以
的规范形为 于是
或此时此时
所以A 合同于
或的规范形为的规范形为的规范形为
其秩为2
,
不合题意.
不合题意.
此时
综上可知，解法2由于
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4． 设
①若②若
为n 阶实方阵. 证明：
则A
的列向量组
线性相关，故存在不全为0
的实数
使
【答案】①反证法.
设若
即有
不妨设
则由上第一个等式得
从而②令
与假设矛盾. 故
则是x 的实系数多项式，从而当时由假设得
且由①知，对设若
5． 设
即
中有X 。伤
与
中任何实数X 都有
但显然以矛盾. 因此必
特别地，
于是由连续函数性质知，
在
分别是齐次方程组
, 可写成
的解空间，证明
【答案】任意
其中第一个向量属于于是有
，
第二个向量属于
再
由
故.
即有
知
又易知
.