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一、分析计算题

1． 计算

【答案】解法1用构造法. 构作线性方程组

①

（i ）当（ji ）当

中有两个相等时，显然

互不相等时. 由范德蒙行列式知，方程组①的系数行列式

所以方程组有惟一解，其中

②

再作n 次方程

③

由①知，方程③有n 个不同根由根与系数关系知

④

将④代入②得

解法2（i ）当（ii ）当

有两个相等时互不相等时，在

中加一行加一列，配成范德蒙行列式，即

⑤

由于

是多项式

中

的系数的相反数，由⑤式右端知

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的系数为

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所以

2． 己知3阶矩阵A 与3维向量X ，

使得向量

（

1）记

（2）计算行列式【答案】

⑴由

求3阶矩阵B

, 使

可得

且

令

则有

移项得

由己知

，

线性无关

，可得

所求三阶矩阵，（2）

3． 求下列两个齐次线性方程组的解空间的维数和一基:

【答案】 ①从而可知其一般解为

基础解系即解空间的每一基中含例如,

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线性无关

，

且满足

的系数矩阵为

向量.

, 秩为1, 为自由未知量）,

为解空间的一基, 维数是

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②对该齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换可得于是原方程组与以下方程组同解:取

作自由未知量, 得一基础解系为

.

此即原方程组

解空间的一基, 解空间维数是2.

4．

设v 是定义域实数集R

的所有实函数组成的集合, 对于f+g, af ;

则v 成为实数域上的一个线性空间. 设

分利用下列式子定义

① ②

（1）判断（2）用

分别将

表示

【答案】（1）令

是否线性相关, 写出理由； 生成的线性子空间, 判断

即

代入①式得

①

是否为直和.

解得（2）令

线性无关.

是直和, 即

是直和. 与

为K 上两个互素多项式, 证明:n 元齐次线性方

与

或

. 使

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5． 设A 是数域K 上的n 阶方阵, 又程组和.

【答案】由于. 因此

, 再证于是得

都是V 的子空间.

因为

的解空间V 是

故由

.. 故有

的解空间

必有.

的直