2018年浙江师范大学数理与信息工程学院881高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设
E 是4阶单位矩阵.
则
_________
【答案】【解析】
2． 设矩阵
【答案】【解析】由
E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足则________
上式两边取行列式，有
因为
3． 设A , B为3阶矩阵，E 是3阶单位阵，满足
则B=_______ 【答案】【解析】
又因为
4． 设
则
之秩S 与
之秩t 的关系是_____.
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所以已知
可逆. 所以
【答案】
可由
线性表示.
【解析】由已知等式可知将这些等式统统相加有所以
①
将①式两端分别减去
得
此即
可由线性表示，从而两向量组等价，而等价向量组具有相同的秩，
二、分析计算题
5． 证明：
矩阵方程解情况下，
当
【答案】
因为
有解
时，方程有无穷多解.
所以A 的列向量组的极大无关组即为矩阵（A ，B ）
在有
时，方程有唯一解；当
的列向量的极大无关组.
从而B 的列向量
可由A 的列向量线性表示，令
则矩阵1
若
有解C ，即
是方程的解
.
则B 的列是A 的列的线性组合. 因而A 的列向量组与（A ,
B ）的列向量组等价.
所以
在有解时，记（1）（2）
为B 的第i
列
有唯一解
有无穷多解. 维的. 的生成元，
，
均有无穷多解，所以矩阵方程
有唯一解时，线性方程组
6． 设V 是数域P 上n 维线性空间. 证明:由V 的全体线性变换组成的线性空间是
【答案】任一元于是从而
是维的
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这组元素是
，即有
. 故
是线性无关的. 因此它们是
的一组基，
设V 是P 上n 维线性空间，给定V 上一组基这就建立了因而是线性空间
到
是V 上全体线性变换所成的空间. ，任一线性变换与它在该基下的矩阵相对应，
上的一个映射，它是双射，又保持各自的加法和数量乘法， 到线性空间
上的同构. 由于是同构，它们的维数相同，即L （V ）
也是维的.
7． 设V 是有限维向量空间, 换）. 证明:
（1）（2）【答案】（1） 由
于是
知
于是
是V 上的两个线性变换, 且有
是同构映射, 由
则
反之
,
是偶数.
及（1是恒等变
（1）
则存在
故综上所述
类似可得
有
这里注意到
故
有
则
故
且则存在则
则
故是单射.
由
使
于是由（1）得
. （偶数）
则是满射, 于是是双射, 故是同构映射. 由V 是有限维向量空间,
8． 设v 是定义域实数集R 的所有实函数组成的集合, 对于f+g, af ;
则v 成为实数域上的一个线性空间. 设
（1）判断（2）用
表示
是否线性相关, 写出理由； 生成的线性子空间, 判断
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（2）显然保持线性运算. 若
分利用下列式子定义
①
②
是否为直和.