2016年云南师范大学物理与电子信息学院高等数学考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 求底圆半径相等的两个直交圆柱面A ，则由对称性知全部表面的面积为16A 。
2
故全部表面积为16R 。
及所围立体的表面积。
上的那一部分的面积为
【答案】如图所示，设第一卦限内的立体表面位于圆柱面
图
2． 方程
【答案】将已知方程整理成
所以此方程表示以（1，﹣2，﹣1）为球心，以
为半径的球面.
3． 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+y=2，y=x和x 轴所围成，它的面密
度
，求该薄片的质量.
【答案】D 如图1所示. 所求薄片的质量
表示什么曲面?
图1
4． 求函数
【答案】f （x ）在续区间为
因为所以
的连续区间，并求极限
。
， 。
。
处无意义，所以这两个点为间断点，此外函数到处连续，连
5． 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ，于是分布在区间[0，x]上细棒的质量m 是x 的函数m=m（x ）。应怎样确定细棒在点x 0处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）?
【答案】在区间[x0，x 0+△x]上的平均线密度为
在点x 0处的线密度为
6． 已知△ABC 的顶点为A （3，2，﹣1），B （5，﹣4，7）和C （﹣1，l ，2），求从顶点C 所引中线的长度.
【答案】设AB 中点的坐标为
，由
从而顶点C 所引中线的长度
二、证明题
7． 按对坐标的曲面积分的定义证明公式
【答案】把任意分成n 块小曲面在
上任取 一点
（其面积也记为
，）
在yOz 面上的投影为
，
。设λ是各小块曲面的直径的最大值，则
8． 证明下列不等式:
【答案】（1）取
因此, 函数f （t ）在[0, x]上单调增加, 故当x>0时, f （x ）>f（0）。即
亦即（2）取
因此, 函数f （t ）在[o, x]上单调增加, 故当x>0时, f （x ）>f（0）, 即
亦即
（3）取
, 则
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