2016年信阳师范学院物理电子工程学院高等数学(同等学力或跨学科加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1．
求函数
向的方向导数。
【答案】因为
所以
2． 已知
【答案】因为
于是
3． 溶液自深18 cm 顶直径12 cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1 cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?
，圆柱形筒中水深为h=h（t ）【答案】如图，设在t 时刻漏斗中的水深为H=H（t ）。
，求当
时，
的值。 在点
处沿方向角为
的方
建立h 与H 之间内的关系：
又
即
，即
，故
，
上式两端分别对t 求导，得
当H=12时，
，此时
4． 求过点
【答案】
将点
（2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点
=（2，9，﹣6）. 所求平面与
的线段，垂直的平面方程. ，设所求平面方程为
垂直，可取n=
2x ＋9y －6z ＋D=O
（2，9，﹣6）代入上式，得D=﹣121. 故所求平面方程为
2x ＋9y －6z －121=0
5． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当
时，
当
时，
；
故不论（2）（3）（4）（5）（6）
为何值，均有
6． 求球体r ≤a 位于锥面和之间的部分的体积。
为立体所占的空间区域，有
【答案】用球面坐标计算，记
二、证明题
7． 试用向量证明
不等式
为任意实数。并指出等号成立的条件。
【答案】设向量a=
，b=
. 由a ·b=，从而
当
与
成比例，即
时，上述等式成立.
知，
其
中
8． 利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3。
【答案】设对积分弧段L 任意分割成n 个小弧段，第i 个小弧段的长度为i 个小弧段上任意取定的一点按假设，有
令
，上式两端同时取极限，取得
又
，利用以上结果，得
为第