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一、计算题

1． 均质连杆AB 质量为4kg , 长l=600mm.均质圆盘质量为6kg , 半径r=100mm.弹簧刚度系数为k=2N/mm, 不计套筒A 及弹簧的质量. 如连杆在图所示位置被无初速度释放后, A 端沿光滑杆滑下, 圆盘做纯滚动. 求:（1）当AB 达水平位置而接触弹簧时, 圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量

5.

图

【答案】（1）初始时, 系统的动能为0.

当AB 到达水平位置时, 由速度投影定理可知B 点速度为0, 所以由动能定理可得

解得

（2）设AB 水平时系统动能为由动能定理

可得

解得

2． 纸盘由厚度为a 的纸条卷成，令纸盘的中心不动，而以等速v 水平拉纸条，如图所示。求纸盘的角加速度（以半径r 的函数表示）。

当弹簧达到最大压缩量时, 系统动能为

图

【答案】设初始时纸盘的半径为R ，则经过时间t 后纸盘的面积满足

求导得因为所以

与

3 三棱柱A 沿三棱柱B 的光滑斜面滑动, 如图1所示. 三棱柱A 和三棱柱B 的质量分别为．

三棱柱B 的斜面与水平面成角, 如开始时物系静止, 求运动时三棱柱B 的加速度. 摩擦略去不计

.

图1

【答案】在三棱柱B 上建立动坐标系, 由题可知, 动系做平动, 所以

沿垂直斜面方向分解得:

其中,

以A 为研究对象, 其受力和运动分析如图2（a ）所示. 列非惯性系中的动力学方程:

图2

以B 为研究对象, 其受力和运动分析如图2（a ）所示. 在水平方向有:

其中,

联立以上各式得:

4． 图1所示均质细杆AB 长为1, 质量为m , 在点D 挂有倾斜弹簧, 弹簧的刚度系数为k. 杆的尺寸如图. 求杆处于水平和铅直位置两种情况下微幅振动的固有频率

.

图1

【答案】取系统平衡位置处为坐标原点, 当杆偏离平衡位置微小转角时, 弹簧恢复力为:

图2

（1）第一种情况下, 根据动量矩定理可得:

其中,

所以运动微分方程为:

杆水平时微幅振动的固有频率是:

（2）第二种情况下, 根据动量矩定理可得: