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一、解答题

1． 将直角坐标系下Laplace 方程

【答案】设

则

类似可求

因此

2． 求下列全微分的原函数:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由于数

（2

）由于

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化为极坐标下的形式.

从而积分与路径无关, 其原函

从而积分与路径

无关, 故其原函数

或

（3）由即

3． 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成

角斜沉于液体中. 设a>b, 长边平行于液面,

易见积分与路径无关, 故原式为某一函数的全微分, 令

上沿位于深h 处, 液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力.

【答案】如图所示, 静压力的微元

, 则

图

4． 求出函数

在（1, 1）点邻域带皮亚诺余项的泰勒公式.

【答案】利用一元函数的泰勒公式, 有

其中

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.

5． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:

（1）（2）

【答案】（1）因为

所以（2）因为

由拉贝判别法, 当x>l时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=l时, 原级数化为发散.

6． （1）设级数

（2）讨论级数

在X 上一致收敛, 求证:级数的一般项

在x>0上的一致收敛性.

, 使得

即得

在X 上一致趋于零.

可知,

对任意固定的x 收敛. 但

因此根据（1）, 原级数在x>0上不一致收敛.

7． （1）求

（2）求（3）求【答案】（1

）以任意相乘, 记

则有

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故由拉贝判别法可得原级数收敛.

也

在X 上一致趋于零;

【答案】（1）由一致收敛原理, p>1, 有

（2）对固定的x>0, 由

在x=0点的幂级数展开式;

的和; 的和.

是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可