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一、证明题

1． 设

在

上可微，且对于任何

有

求证：对任何正整数n ，

有

其中M 是一个与x 无关的常数.

【答案】由定积分的性质及积分中值定理有

其中

又因为

_

在

上可微，所以由微分中值定理可知，存在

使得

因此

证明：

2． 设

在

上有一阶连续导数，且

证明：

【答案】

有

对其取极限可得

由已知条件有

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若

3． 设在上二阶可导，且证明：

上的严格凹函数.

设有

的最大值点，

【答案】由已知条件可知

，

则必有

由凹函数的性质，对任意的对上式两边在

是是

上积分，可得：

由于则

从而，对任意的有

4． 若

的收敛半径为

且

收敛，则

也收敛，且

【答案】因为

所以

因为

且

收敛，所以

在[0，A]上一致收敛，故在[0，A]上可逐项积分，因而

因

关于A

在

成立，而

上一致收敛，由和函数的连续性知

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收敛，

因此

二、解答题

5． 求指数

使得曲线积分

则

由

得

这时

所以积分与路径无关，由于

及

所以

6． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性：

(1) (2)

【答案】(1) 因为

*

所以(2) 因为

由拉贝判别法，当x>1时原级数收敛；当x<1时原级数发散；当x=1时，原级数化为也发散. 7． 设

【答案】

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与路线无关并求k.

【答案】设

，故由拉贝判别法可得原级数收敛.