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2017年重庆师范大学经济与管理学院概率论(加试)考研复试核心题库

  摘要

一、计算题

1. 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布,现观测该种布

发现有126个疵点,在

显著性水平为0.05下能否认为该种布每平方分米上平均疵点数不超过1个?并给出检验的p 值.

,需要检验的假设为

【答案】以X 记每平方米上的疵点数,则可认为; f-PU )

由于n=100, 故可以采用大样本检验,泊松分布的均值和方差都是因而,检验的统计量为若取由于u 在

检验的拒绝域为

这里u=2.6落入拒绝域,故拒绝原

假设,认为该种布每平方米上的平均疵点数不超过1个的结论不成立.

成立时,服从标准正态分布,因而检验的p 值为

2. 分别用随机投点法和平均值法计算下列定积分:

【答案】(1)随机投点法. 先用计算机产生(0, 1)上均匀分布的2n 个随机数(譬如构成n

个数对记

记满足不等式

平均值法. 先用计算机产生n 个(0, 1)上均匀分布的随机数算

, 最后得的估计值为

(2)对于第二个积分

先将其化成

区间上的积分. 令

»

此时有

其中对

•), 构成n 个数

记满足不等式

的次数, 则

平均值法. 先用计算机产生n 个(0, 1)上均匀分布的随机数算

最后得J 的估计值为

),

的次数,

则然后对每个

随机投点法. 先用计算机产生(0, 1)上均匀分布的2n 个随机数(譬如

然后对每个计

3 设随机变量X 服从参数为μ=160和.

最大为多少?

【答案】

由题设条件

,的正态分布若要求

,允许从而查表得

这表明矿最大为24.32.

4. 设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为

(1)求(2)求(3)求【答案】(1)

的非零区域与

的交集为图(a )阴影部分, 所以

(2)

的非零区域与

的交集为图(b )阴影部分, 所以

又因为的非零区域与

的交集为图(c )阴影部分, 所以

(3)

的非零区域与

的交集为图(d )阴影部分, 所以

5. 若总体X 服从如下柯西分布:

是它的一个样本,试求μ的估计量.

最小,则得

很难说

的一个合适的估计量,因

【答案】由于柯西分布不存在数学期望,因此不能用一阶矩法估计得到μ的估计量. 若用最小二乘法,即使

为这时无偏性、有效性都失去意义,而且

,同分布(读者自行验证)说明也没有起到汇集

的信息的作用,因而,这个估计量的相合性也就无从谈起.

因此,我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为

其对数似然函数为

对求导可得对数似然方程为

这个方程只能求数值解,比如用牛顿迭代法. 由于μ是总体分布的中位数,因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看,该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.

6. 从一批钢管抽取10根,测得其内径(单位:mm )为:

试分别在下列条件下检验假设(

设这批钢管内直径服从正态分布(1)已知【答案】(1)当查表知

(2)未知.

.

已知时,应采用检验,此时检验的拒绝域为若取

由样本数据计算如下结果,

检验统计量未落入拒绝域中,应接受原假设,不能认为(2)当未知时,应采用t 检验,拒绝域为显著性水

平s=0.4760,

查表

一其中检验统计量

由样本观测值计算

故接受原假设.

7. 一间宿舍内住有5位同学,求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.

【答案】将此问题看成是:5个球放入12个盒子中去的盒子模型,由盒子模型可得 P (至少有2个人的生日在同一个月份)=1-p(5个人生日全不同月)