2017年重庆师范大学经济与管理学院概率论(加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1. 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布,现观测该种布
发现有126个疵点,在
显著性水平为0.05下能否认为该种布每平方分米上平均疵点数不超过1个?并给出检验的p 值.
,需要检验的假设为
【答案】以X 记每平方米上的疵点数,则可认为; f-PU )
由于n=100, 故可以采用大样本检验,泊松分布的均值和方差都是因而,检验的统计量为若取由于u 在
则
检验的拒绝域为
这里u=2.6落入拒绝域,故拒绝原
而
假设,认为该种布每平方米上的平均疵点数不超过1个的结论不成立.
成立时,服从标准正态分布,因而检验的p 值为
2. 分别用随机投点法和平均值法计算下列定积分:
【答案】(1)随机投点法. 先用计算机产生(0, 1)上均匀分布的2n 个随机数(譬如构成n
个数对记
以
记满足不等式
平均值法. 先用计算机产生n 个(0, 1)上均匀分布的随机数算
, 最后得的估计值为
(2)对于第二个积分
先将其化成
区间上的积分. 令
»
则
此时有
其中对
•), 构成n 个数
以
记满足不等式
的次数, 则
平均值法. 先用计算机产生n 个(0, 1)上均匀分布的随机数算
最后得J 的估计值为
),
的次数,
则然后对每个
计
随机投点法. 先用计算机产生(0, 1)上均匀分布的2n 个随机数(譬如
然后对每个计
3 设随机变量X 服从参数为μ=160和.
最大为多少?
【答案】
由题设条件
或
,的正态分布若要求
得
,允许从而查表得
这表明矿最大为24.32.
4. 设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为
(1)求(2)求(3)求【答案】(1)
的非零区域与
的交集为图(a )阴影部分, 所以
(2)
的非零区域与
的交集为图(b )阴影部分, 所以
又因为的非零区域与
的交集为图(c )阴影部分, 所以
(3)
的非零区域与
的交集为图(d )阴影部分, 所以
图
5. 若总体X 服从如下柯西分布:
而
是它的一个样本,试求μ的估计量.
最小,则得
很难说
的一个合适的估计量,因
【答案】由于柯西分布不存在数学期望,因此不能用一阶矩法估计得到μ的估计量. 若用最小二乘法,即使
为这时无偏性、有效性都失去意义,而且
,同分布(读者自行验证)说明也没有起到汇集
的信息的作用,因而,这个估计量的相合性也就无从谈起.
因此,我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为
其对数似然函数为
对求导可得对数似然方程为
这个方程只能求数值解,比如用牛顿迭代法. 由于μ是总体分布的中位数,因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看,该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.
6. 从一批钢管抽取10根,测得其内径(单位:mm )为:
试分别在下列条件下检验假设(
设这批钢管内直径服从正态分布(1)已知【答案】(1)当查表知
(2)未知.
)
.
已知时,应采用检验,此时检验的拒绝域为若取
由样本数据计算如下结果,
检验统计量未落入拒绝域中,应接受原假设,不能认为(2)当未知时,应采用t 检验,拒绝域为显著性水
平s=0.4760,
查表
得
一其中检验统计量
取
由样本观测值计算
故接受原假设.
7. 一间宿舍内住有5位同学,求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.
【答案】将此问题看成是:5个球放入12个盒子中去的盒子模型,由盒子模型可得 P (至少有2个人的生日在同一个月份)=1-p(5个人生日全不同月)
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